Une petite sélection de problèmes :

• Géométrie, ou passons en 3D au lieu de 3G :

1. Pour un point à l'intérieur d'un tétraèdre T, comparer la somme de ses distances aux sommets de T, aux arêtes de T, et aux faces de T. En d'autres termes, on s'intéresse aux versions 3D du théorème d'Erdős-Mordell. Pour les sommets et les faces, cette question a été traitée ici.
2. On sait que d'une manière générale, le centre I du cercle inscrit d'un triangle n'appartient pas à sa droite d'Euler d. Est-ce que la distance de I à d contient de l'information géométrique sur le triangle ?
3. Étant donnés un entier s > 3 et, pour i entre 1 et s, des nombres d(i)>0 dont la somme vaut 4π, peut-on construire un polyèdre convexe avec s sommets et les d(i) comme déficits angulaires ? (En d'autres termes, la somme des angles planaires adjacents au i-ème sommet doit être 2π - d(i).)
4. Soit Q un quadrilatère convexe, et H un point sur son bord. Construire à la règle et au compas un point K sur le bord de Q tel que HK partage Q en deux parties d'aires égales.
5. Soit ABC un triangle, et M un point du plan différent de A, B et C. Notons A', B', C' les orthocentres des triangles BCM, CAM et ABM respectivement. Montrer que les triangles ABC et A'B'C' ont la même aire.
6. Théorème de Sawayama-Thébault : Soit P un point sur le côté BC du triangle ABC. Notons O1 (resp., O2) le centre du cercle tangent au cercle circonscrit de ABC, ainsi qu'aux segments AB et BP (resp., AC et CP). Montrer que O1, O2 et le centre du cercle inscrit de ABC sont colinéaires.
   

• Jeux, ou de quoi s'occuper entre deux parties d'échecs :

1. Dans un sac il y a 5 boules mauves et 5 boules orange. Votre capital au début du jeu est 2015 yuans. A chaque tour vous choisissez une couleur et une somme x (éventuellement nulle, mais n'excédant pas la somme que vous possédez). On tire une boule du sac, et vous gagnez/perdez x yuans selon que vous avez deviné ou non la couleur de la boule. La boule est mise de côté, et on recommence. Le jeu est fini quand le sac est vide. Quel est votre meilleur gain garanti ? (Par exemple, vous pouvez parier 0 yuan à chaque tour sauf le dernier, où vous pariez tous vos 2015 yuans et gagnez, car vous connaissez la couleur de la dernière boule. Cela vous fait finir le jeu avec 4030 yuans, mais on peut faire mieux !)
2. Un lion et un dresseur se trouvent dans une arène circulaire. Les deux peuvent atteindre la même vitesse. Le dresseur a-t-il une stratégie pour capturer le lion ?
3. Un autre lion se trouve dans une piscine circulaire, et son dresseur à lui est à bord de la piscine. Le dresseur ne sait pas nager, mais il court 4 fois plus vite que le lion nage. Le lion peut-il sortir de la piscine sans tomber sur son dresseur ?
   
4. Une séance de K2M a lieu autour d'une table ronde. On est exactement n, et chacun porte un chapeau, ou bien noir (à la Jean-Marc), ou bien blanc. Bizarrement, chacun voit seulement les chapeaux de ses deux voisins. Personne ne se souvient de la couleur de son chapeau (hé oui, les matheux, ça peut être distrait !). A 13h55 pile tout le monde doit dire un mot, "blanc" ou "noir". Ceux qui ont nommé la couleur de leur chapeau gagnent. Combien de gagnants peut-on avoir à coup sûr ?
   
   
5. Le jeu du chocolat empoisonné, tel que présenté par Paul Halmos, et ses multiples généralisations.
   

• Théorie des nombres

1. Une volée de canards forme un triangle de n lignes (cf. l'exemple pour n=3 ci-contre). Un coup de vent la sépare en deux triangles, de m lignes chacun. Pour quels n et m cela est-il possible ? Quoi dire dans le cas où les deux nouveaux triangles ne sont pas de la même taille ?
   
2. Sachant que les nombres p et p²+2 sont premiers, montrer que p³+2 l'est aussi.
3. Le problème de Freudenthal :
   On choisit deux entiers X et Y, avec 1 < X <Y et X + Y ≤ 100. On indique à Patricia le produit P de X et Y, et à Sylvie la somme S de X et Y. Le dialogue est alors le suivant :
   1. Patricia : « Je ne sais pas quels sont les nombres X et Y. »
   2. Sylvie : « Je savais que vous ne connaissiez pas X et Y. »
   3. Patricia : « Eh bien alors, maintenant, je connais X et Y. »
   4. Sylvie : « Eh bien, moi aussi je les connais maintenant. »
   À vous de trouver X et Y.
4. Trouver un nombre à 10 chiffres, deux à deux distincts, tel que ses premiers n chiffres formeraient un nombre divisible par n, ceci pour tout n entre 1 et 10.
   

• Combinatoire

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